Jei laipsnis tas pats, bet pagrindai skiriasi, tada. Galių dauginimo iš skirtingų bazių taisyklė

Laipsnių sudėjimas ir atėmimas

Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos vieną po kito savo ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šansai vienodos identiškų kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra lygi 5a 2.

Taip pat akivaizdu, kad jei imsite du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai įvairūs kintamieji Ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, turi būti sudaryti pridedant juos su jų ženklais.

Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra lygūs ne dvigubam a kvadratui, o dvigubam a kubui.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.

Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrių ženklai.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 — 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Galių dauginimas

Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Paskutiniame pavyzdyje pateiktą rezultatą galima rūšiuoti pridedant identiškus kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, kuris yra lygus 2 + 3, terminų galių sumai.

Taigi, a n .a m = a m+n .

Jei a n , a imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek yra n laipsnis;

Ir a m imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek lygus laipsniui m;

Štai kodėl, laipsnius su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant galių laipsnius.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.

Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnių.

Taigi (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8.

Laipsnių skirstymas

Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš dividendo arba pateikiant juos trupmenos forma.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra lygus a 3.

5 padalytas iš 3 atrodo kaip $\frac $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $\frac = y$.

Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac = a^n$.

Arba:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2.
Taip pat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $\frac $ Atsakymas: $\frac $.

2. Sumažinkite eksponentus $\frac$. Atsakymas: $\frac$ arba 2x.

3. Sumažinkite eksponentus a 2 /a 3 ir a -3 /a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra -2 pirmasis skaitiklis.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .

4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 /5a 7 ir 5a 5 /5a 7 arba 2a 3 /5a 2 ir 5/5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.

6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).

7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .

8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.

Laipsnio savybės

Primename, kad šioje pamokoje mes suprasime laipsnių savybės su natūraliais rodikliais ir nuliu. Galios su racionaliais rodikliais ir jų savybės bus aptariamos pamokose 8 klasei.

Natūralųjį rodiklį turintis laipsnis turi keletą svarbių savybių, kurios leidžia supaprastinti skaičiavimus pavyzdžiuose su laipsniais.

Turtas Nr.1
Galių produktas

Dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, bazė lieka nepakitusi, o laipsnių laipsniai pridedami.

a m · a n = a m + n, kur „a“ yra bet koks skaičius, o „m“, „n“ yra bet kokie natūralūs skaičiai.

Ši galių savybė galioja ir trijų ar daugiau galių sandaugai.

Supaprastinkite išraišką.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
Pateikite jį kaip laipsnį.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
Pateikite jį kaip laipsnį.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje nuosavybėje mes kalbėjome tik apie galių dauginimą tais pačiais pagrindais. Tai netaikoma jų papildymui.

Sumos (3 3 + 3 2) negalite pakeisti 3 5. Tai suprantama, jei
apskaičiuokite (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ir 3 5 = 243

Turtas Nr.2
Daliniai laipsniai

Dalijant laipsnius ta pačia baze, bazė išlieka nepakitusi, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.

Užrašykite koeficientą kaip laipsnį
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
Apskaičiuoti.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Mes naudojame koeficiento laipsnių savybę.
3 8: t = 3 4

Atsakymas: t = 3 4 = 81

Naudodami savybes Nr. 1 ir Nr. 2 galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.

Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę naudodami eksponentų savybes.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Atkreipkite dėmesį, kad 2 nuosavybėje kalbėjome tik apie galių padalijimą tais pačiais pagrindais.

Negalite pakeisti skirtumo (4 3 −4 2) 4 1. Tai suprantama, jei apskaičiuojate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ir 4 1 = 4

Turtas Nr.3
Laipsnio pakėlimas į galią

Didinant laipsnį iki laipsnio, laipsnio bazė lieka nepakitusi, o laipsniai dauginami.

(a n) m = a n · m, kur „a“ yra bet koks skaičius, o „m“, „n“ yra bet kokie natūralūs skaičiai.

Primename, kad koeficientas gali būti pavaizduotas trupmena. Todėl kitame puslapyje mes išsamiau aptarsime trupmenos pakėlimo į laipsnį temą.

Kaip padauginti galias

Kaip padauginti galias? Kurias galias galima padauginti, o kurių ne? Kaip skaičių padauginti iš laipsnio?

Algebroje galių sandaugą galite rasti dviem atvejais:

1) jei laipsniai turi vienodus pagrindus;

2) jei laipsniai turi vienodus rodiklius.

Dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, bazė turi būti palikta ta pati, o laipsniai turi būti pridėti:

Dauginant laipsnius iš tų pačių rodiklių, bendrą rodiklį galima išimti iš skliaustų:

Pažiūrėkime, kaip padauginti galias naudojant konkrečius pavyzdžius.

Vienetas nėra rašomas eksponente, tačiau dauginant laipsnius atsižvelgiama į:

Dauginant gali būti bet koks galių skaičius. Reikėtų atsiminti, kad prieš raidę nereikia rašyti daugybos ženklo:

Išraiškose pirmiausia atliekama eksponencija.

Jei jums reikia skaičių padauginti iš laipsnio, pirmiausia turėtumėte atlikti eksponentinį koeficientą, o tik tada dauginti:

Galių dauginimas su tais pačiais pagrindais

Šią vaizdo pamoką galima įsigyti užsiprenumeravus

Jau turite prenumeratą? Įeiti

Šioje pamokoje nagrinėsime galių dauginimą su panašiomis bazėmis. Pirmiausia prisiminkime laipsnio apibrėžimą ir suformuluokime teoremą apie lygybės pagrįstumą . Tada pateiksime jo taikymo pavyzdžius konkrečiuose skaičiuose ir įrodysime. Taip pat teoremą pritaikysime įvairioms problemoms spręsti.

Tema: Galia su natūraliu eksponentu ir jo savybės

Pamoka: galių dauginimas iš tų pačių bazių (formulė)

1. Pagrindiniai apibrėžimai

Pagrindiniai apibrėžimai:

n- eksponentas,

— n skaičiaus laipsnis.

2. 1 teoremos teiginys

1 teorema. Bet kokiam skaičiui A ir bet koks natūralus n Ir k lygybė yra tiesa:

Kitaip tariant: jei A– bet koks skaičius; n Ir k natūraliuosius skaičius, tada:

Taigi 1 taisyklė:

3. Aiškinamosios užduotys

Išvada: ypatingi atvejai patvirtino 1 teoremos teisingumą. Įrodykime tai bendru atveju, tai yra bet kuriuo atveju A ir bet koks natūralus n Ir k.

4. 1 teoremos įrodymas

Duotas skaičius A– bet koks; numeriai n Ir k – natūralus. Įrodykite:

Įrodymas grindžiamas laipsnio apibrėžimu.

5. Pavyzdžių sprendimas naudojant 1 teoremą

1 pavyzdys: Pagalvokite apie tai kaip apie laipsnį.

Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, naudosime 1 teoremą.

ir)

6. 1 teoremos apibendrinimas

Čia naudojamas apibendrinimas:

7. Pavyzdžių sprendimas naudojant 1 teoremos apibendrinimą

8. Įvairių uždavinių sprendimas naudojant 1 teoremą

2 pavyzdys: Apskaičiuokite (galite naudoti pagrindinių galių lentelę).

A) (pagal lentelę)

3 pavyzdys: Parašykite jį kaip laipsnį su 2 baze.

4 pavyzdys: Nustatykite skaičiaus ženklą:

, A - neigiamas, nes rodiklis ties -13 yra nelyginis.

5 pavyzdys: Pakeiskite (·) skaičiaus laipsniu su pagrindu r:

Mes turime, tai yra.

9. Apibendrinimas

1. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt. Algebra 7. 6-asis leidimas. M.: Nušvitimas. 2010 m

1. Mokyklos asistentas (Šaltinis).

1. Pateikti kaip galią:

a B C D E)

3. Įrašykite kaip laipsnį su 2 baze:

4. Nustatykite skaičiaus ženklą:

5. Pakeiskite (·) skaičiaus laipsniu su baze r:

a) r 4 · (·) = r 15; b) (·) · r 5 = r 6

Valdžių dauginimas ir padalijimas su tais pačiais rodikliais

Šioje pamokoje nagrinėsime galių dauginimą su lygiais eksponentais. Pirma, prisiminkime pagrindinius apibrėžimus ir teoremas apie galių dauginimą ir padalijimą tais pačiais pagrindais bei galių pakėlimą į galias. Tada formuluojame ir įrodome laipsnių daugybos ir padalijimo teoremas su tais pačiais eksponentais. Ir tada su jų pagalba išspręsime nemažai tipiškų problemų.

Pagrindinių apibrėžimų ir teoremų priminimas

Čia a- laipsnio pagrindas,

— n skaičiaus laipsnis.

1 teorema. Bet kokiam skaičiui A ir bet koks natūralus n Ir k lygybė yra tiesa:

Dauginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, laipsniai pridedami, bazė lieka nepakitusi.

2 teorema. Bet kokiam skaičiui A ir bet koks natūralus n Ir k, toks kad n > k lygybė yra tiesa:

Dalijant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, rodikliai atimami, tačiau bazė lieka nepakitusi.

3 teorema. Bet kokiam skaičiui A ir bet koks natūralus n Ir k lygybė yra tiesa:

Visos išvardintos teoremos buvo apie tokias pat galias priežastys, šioje pamokoje laipsnius apžvelgsime tuo pačiu rodikliai.

Pavyzdžiai, kaip padauginti laipsnius iš tų pačių rodiklių

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius:

Užrašykime laipsnio nustatymo išraiškas.

Išvada: Iš pavyzdžių matyti, kad , bet tai dar reikia įrodyti. Suformuluokime teoremą ir įrodykime ją bendruoju atveju, tai yra bet kuriam A Ir b ir bet koks natūralus n.

4 teoremos formulavimas ir įrodymas

Dėl bet kokių skaičių A Ir b ir bet koks natūralus n lygybė yra tiesa:

Įrodymas 4 teorema .

Pagal laipsnio apibrėžimą:

Taigi mes tai įrodėme .

Norint padauginti laipsnius su tais pačiais eksponentais, pakanka padauginti bazes ir palikti laipsnį nepakeistą.

5 teoremos formulavimas ir įrodymas

Suformuluokime laipsnių dalijimo tais pačiais rodikliais teoremą.

Bet kokiam skaičiui A Ir b() ir bet koks natūralus n lygybė yra tiesa:

Įrodymas 5 teorema .

Užrašykime laipsnio apibrėžimą:

Teoremų išdėstymas žodžiais

Taigi, mes tai įrodėme.

Norint padalinti laipsnius su tais pačiais rodikliais vienas į kitą, pakanka padalyti vieną bazę iš kitos, o laipsnį palikti nepakeistą.

Tipinių problemų sprendimas naudojant 4 teoremą

1 pavyzdys: Pateikti kaip galių produktas.

Norėdami išspręsti šiuos pavyzdžius, naudosime 4 teoremą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, prisiminkite formules:

4 teoremos apibendrinimas

4 teoremos apibendrinimas:

Pavyzdžių sprendimas naudojant 4 apibendrintą teoremą

Tęsiamas tipinių problemų sprendimas

2 pavyzdys: Parašykite jį kaip produkto galią.

3 pavyzdys: Parašykite jį kaip laipsnį su 2 laipsniu.

Skaičiavimo pavyzdžiai

4 pavyzdys: Apskaičiuokite racionaliausiu būdu.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. ir kt. Algebra 7.M.: Apšvietos. 2006 m

2. Mokyklos asistentas (Šaltinis).

1. Pateikti kaip galių sandaugą:

A) ; b) ; V); G);

2. Parašykite kaip gaminio galią:

3. Parašykite kaip laipsnį su 2 laipsniu:

4. Apskaičiuokite racionaliausiu būdu.

Matematikos pamoka tema „Valdžių dauginimas ir padalijimas“

Skyriai: Matematika

Pedagoginis tikslas:

mokinys išmoks atskirti galių daugybos ir padalijimo su natūraliaisiais rodikliais savybes; taikyti šias savybes tų pačių bazių atveju;

studentas turės galimybę gebėti atlikti laipsnių transformacijas skirtingais pagrindais ir gebėti atlikti transformacijas kombinuotose užduotyse.

Užduotys:

organizuoti studentų darbą kartojant anksčiau studijuotą medžiagą;

užtikrinti reprodukcijos lygį atliekant įvairaus pobūdžio pratimus;

organizuoti mokinių įsivertinimo patikrinimą testavimo būdu.

Mokymo veiklos vienetai: laipsnio nustatymas natūraliu rodikliu; laipsnio komponentai; privataus apibrėžimas; kombinacinis daugybos dėsnis.

I. Mokinių turimų žinių įvaldymo demonstravimo organizavimas. (1 žingsnis)

a) Žinių atnaujinimas:

2) Suformuluokite laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu.

a n =a a a a … a (n kartų)

b k =b b b b a… b (k kartų) Atsakymą pagrįskite.

II. Studento esamos patirties įgūdžių įsivertinimo organizavimas. (2 žingsnis)

Savikontrolė: (individualus darbas dviem versijomis.)

A1) Pateikite produktą 7 7 7 7 x x x kaip galią:

A2) Pateikite galią (-3) 3 x 2 kaip produktą

A3) Apskaičiuokite: -2 3 2 + 4 5 3

Užduočių skaičių teste parenku pagal klasės pasirengimo lygį.

Aš duodu jums raktą į savęs patikrinimo testą. Kriterijai: išlaikyti – neišlaikyti.

III. Mokomoji ir praktinė užduotis (3 žingsnis) + 4 žingsnis (savybes suformuluos patys studentai)

apskaičiuokite: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Supaprastinkite: a 2 a 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?

Spręsdami 1) ir 2) uždavinius, mokiniai pasiūlo sprendimą, o aš, kaip mokytojas, organizuoju klasę, kad rasčiau būdą, kaip supaprastinti galias, kai dauginama su tais pačiais pagrindais.

Mokytojas: sugalvokite būdą, kaip supaprastinti galias dauginant su tais pačiais pagrindais.

Klasteryje pasirodo įrašas:

Suformuluota pamokos tema. Galių dauginimas.

Mokytojas: sugalvokite taisyklę, kaip padalinti galias tais pačiais pagrindais.

Samprotavimas: kokiais veiksmais tikrinamas padalijimas? a 5: a 3 = ? kad a 2 a 3 = a 5

Grįžtu prie schemos - klasteris ir pridedu prie įrašo - .. dalindami atimame ir pridedame pamokos temą. ...ir laipsnių skirstymas.

IV. Supažindinimas su mokiniais apie žinių ribas (kaip minimumą ir kaip maksimumą).

Pedagogas: Minimali šios dienos pamokos užduotis – išmokti taikyti laipsnių daugybos ir dalybos ypatybes tais pačiais pagrindais, o maksimali užduotis – kartu taikyti daugybą ir dalybą.

Rašome ant lentos : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n

V. Naujos medžiagos studijų organizavimas. (5 veiksmas)

a) Pagal vadovėlį: Nr.403 (a, c, e) skirtingos formuluotės užduotys

Nr.404 (a, d, f) savarankiškas darbas, tada organizuoju abipusę patikrą, duodu raktus.

b) Kokiai m reikšmei lygybė yra teisinga? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Užduotis: sugalvokite panašių padalijimo pavyzdžių.

c) Nr. 417 (a), Nr. 418 (a) Spąstai studentams: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 = a 2.

VI. Išmoktų dalykų apibendrinimas, diagnostinio darbo atlikimas (kuris skatina mokinius, o ne dėstytoją nagrinėti šią temą) (6 veiksmas)

Diagnostinis darbas.

Testas(uždėkite raktelius ant tešlos nugarėlės).

Užduoties parinktys: pavaizduokite koeficientą x 15 kaip laipsnį: x 3; kaip galią pavaizduokite sandaugą (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kuriam m galioja lygybė a 16 a m = a 32? raskite išraiškos reikšmę h 0: h 2, kai h = 0,2; apskaičiuokite reiškinio reikšmę (5 2 5 0) : 5 2 .

Pamokos santrauka. Atspindys. Klasę skirstau į dvi grupes.

Raskite argumentus I grupėje: už laipsnio savybių žinojimą, o II grupė - argumentus, kurie sakys, kad galite apsieiti be savybių. Išklausome visus atsakymus ir darome išvadas. Vėlesnėse pamokose galite pasiūlyti statistinius duomenis ir pavadinti rubriką „Neįtikėtina!

Vidutinis žmogus per savo gyvenimą suvalgo 32 10 2 kg agurkų.

Vapsva sugeba be persėdimų nuskristi 3,2 10 2 km.

Įtrūkus stiklui, įtrūkimas plinta maždaug 5 10 3 km/h greičiu.

Varlė per savo gyvenimą suvalgo daugiau nei 3 tonas uodų. Naudodami laipsnį, parašykite kg.

Pačiomis vaisingiausiomis laikomos vandenyno žuvys – mėnulis (Mola mola), per vieną neršto metu deda iki 300 000 000 ikrų, kurių skersmuo apie 1,3 mm. Parašykite šį skaičių naudodami laipsnį.

VII. Namų darbai.

Istorinė nuoroda. Kokie skaičiai vadinami Ferma skaičiais.

P.19. Nr.403, Nr.408, Nr.417

Naudotos knygos:

Vadovėlis „Algebra-7“, autoriai Yu.N. Makarychevas, N.G. Mindyuk ir kt.

Didaktinė medžiaga 7 klasei, L.V. Kuznecova, L.I. Zvavičius, S.B. Suvorovas.

Matematikos enciklopedija.

Žurnalas „Kvant“.

Laipsnių savybės, formuluotės, įrodymai, pavyzdžiai.

Nustačius skaičiaus galią, logiška apie tai kalbėti laipsnio savybes. Šiame straipsnyje pateiksime pagrindines skaičiaus galios savybes, kartu paliesdami visus galimus rodiklius. Čia pateiksime visų laipsnių savybių įrodymus, taip pat parodysime, kaip šios savybės naudojamos sprendžiant pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės

Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju rodikliu, laipsnis a n yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Remiantis šiuo apibrėžimu, taip pat naudojant realiųjų skaičių daugybos savybės, galime gauti ir pagrįsti šiuos dalykus laipsnio savybės su natūraliuoju rodikliu:

pagrindinė laipsnio savybė a m ·a n =a m+n, jos apibendrinimas a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

koeficiento laipsnių su identiškomis bazėmis savybė a m:a n =a m−n ;

sandaugos (a·b) laipsnio savybė n =a n ·b n , jos išplėtimas (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;

dalinio savybė natūraliajam laipsniui (a:b) n =a n:b n ;

laipsnio didinimas iki laipsnio (a m) n =a m·n, jo apibendrinimas (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

laipsnio palyginimas su nuliu:

jei a>0, tai a n>0 bet kuriam natūraliajam skaičiui n;
jei a=0, tai a n=0;
jei a 2·m >0 , jei a 2·m−1 n ;
jei m ir n yra tokie natūralūs skaičiai, kad m>n, tai 0m n ir a>0 nelygybė a m >a n yra teisinga.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad visos rašytinės lygybės yra identiškas esant nurodytoms sąlygoms, gali būti keičiamos tiek dešinės, tiek kairiosios jų dalys. Pavyzdžiui, pagrindinė trupmenos savybė a m ·a n =a m+n su supaprastinant posakius dažnai vartojama forma a m+n =a m ·a n .

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiai.

Pradėkime nuo dviejų laipsnių su vienodomis bazėmis sandaugos savybės, kuri vadinama pagrindinė laipsnio savybė: bet kurio realaus skaičiaus a ir bet kokių natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n yra teisinga.

Įrodykime pagrindinę laipsnio savybę. Apibrėžiant laipsnį su natūraliuoju rodikliu, laipsnių, turinčių identiškus a m ·a n formos pagrindus, sandauga gali būti įrašyta kaip sandauga . Dėl daugybos savybių gautą išraišką galima parašyti kaip , o ši sandauga yra skaičiaus a laipsnis su natūraliuoju rodikliu m+n, tai yra, a m+n. Tai užbaigia įrodymą.

Pateiksime pavyzdį, patvirtinantį pagrindinę laipsnio savybę. Paimkime laipsnius su tomis pačiomis bazėmis 2 ir natūraliosiomis laipsnėmis 2 ir 3, naudodamiesi bazine laipsnių savybe galime parašyti lygybę 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Patikrinkime jo pagrįstumą apskaičiuodami reiškinių 2 2 · 2 3 ir 2 5 reikšmes. Atlikdami eksponentiškumą, gauname 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ir 2 5 =2 2 2 2 = 32, nes gauname vienodas reikšmes, tada lygybė 2 2 ·2 3 =2 5 yra teisinga, ir tai patvirtina pagrindinę laipsnio savybę.

Pagrindinė laipsnio savybė, pagrįsta daugybos savybėmis, gali būti apibendrinta iki trijų ar daugiau laipsnių sandauga su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais. Taigi bet kuriam natūraliųjų skaičių n 1 , n 2 , …, n k skaičiui k yra teisinga lygybė a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Pavyzdžiui, (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Galime pereiti prie kitos galių savybės su natūraliu eksponentu – koeficiento laipsnių su tais pačiais pagrindais savybė: bet kuriam nuliui nepriklausančiam realiajam skaičiui a ir savavališkiems natūraliems skaičiams m ir n, tenkinantiems sąlygą m>n, lygybė a m:a n =a m−n yra teisinga.

Prieš pateikdami šios savybės įrodymą, aptarkime papildomų sąlygų formuluotėje reikšmę. Sąlyga a≠0 reikalinga tam, kad būtų išvengta dalybos iš nulio, nes 0 n =0, o susipažinę su dalyba sutarėme, kad iš nulio dalyti negalima. Įvedama sąlyga m>n, kad neperžengtume natūraliųjų rodiklių. Iš tiesų, kai m>n eksponentas a m-n yra natūralusis skaičius, kitu atveju jis bus arba nulis (kas atsitinka m-n) arba neigiamas skaičius (kas nutinka m m-n ·a n =a (m-n) +n =a m Iš gautos lygybės a m−n ·a n =a m ir iš daugybos ir dalybos ryšio išplaukia, kad m−n yra laipsnių a m ir a n koeficientas. Tai įrodo laipsnių su tos pačios bazės.

Pateikime pavyzdį. Paimkime du laipsnius su tomis pačiomis bazėmis π ir natūraliaisiais rodikliais 5 ir 2, lygybė π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 atitinka nagrinėjamą laipsnio savybę.

Dabar pasvarstykime produkto galios savybė: bet kurių dviejų realiųjų skaičių a ir b sandaugos natūralioji galia n yra lygi laipsnių a n ir b n sandaugai, tai yra, (a·b) n =a n ·b n .

Iš tiesų, pagal laipsnio apibrėžimą su natūraliuoju rodikliu mes turime . Remiantis daugybos savybėmis, paskutinį sandaugą galima perrašyti kaip , kuri lygi a n · b n .

Štai pavyzdys: .

Ši savybė apima trijų ar daugiau veiksnių sandaugos galią. Tai yra, k faktorių sandaugos natūralaus laipsnio n savybė užrašoma kaip (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Aiškumo dėlei šią savybę parodysime pavyzdžiu. Trijų koeficientų sandaugai iki 7 laipsnio turime .

Ši savybė yra natūra dalinio nuosavybė: realiųjų skaičių a ir b, b≠0 santykis su natūraliąja galia n yra lygus laipsnių a n ir b n daliniui, tai yra, (a:b) n =a n:b n.

Įrodymas gali būti atliktas naudojant ankstesnę nuosavybę. Taigi (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n, o iš lygybės (a:b) n ·b n =a n išplaukia, kad (a:b) n yra koeficientas padalijimas a n ant bn.

Parašykime šią savybę naudodami konkrečius skaičius kaip pavyzdį: .

Dabar ištarkime savybė pakelti valdžią į valdžią: bet kuriam realiajam skaičiui a ir bet kokiems natūraliems skaičiams m ir n laipsnio a m laipsnio n laipsnis yra lygus skaičiaus a laipsniui, kurio eksponentas m·n, tai yra, (a m) n =a m·n.

Pavyzdžiui, (5 2) 3 =5 2 · 3 =5 6.

Galios iki laipsnio savybės įrodymas yra tokia lygybių grandinė: .

Nagrinėjamas turtas gali būti išplėstas iki laipsnio iki laipsnio ir pan. Pavyzdžiui, bet kurių natūraliųjų skaičių p, q, r ir s lygybė . Kad būtų aiškiau, pateiksime pavyzdį su konkrečiais skaičiais: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10.

Belieka pasilikti ties laipsnių palyginimo su natūraliu eksponentu ypatybėmis.

Pradėkime įrodydami nulio ir laipsnio palyginimo su natūraliuoju rodikliu savybę.

Pirmiausia įrodykime, kad a n >0 bet kuriam a>0.

Dviejų teigiamų skaičių sandauga yra teigiamas skaičius, kaip matyti iš daugybos apibrėžimo. Šis faktas ir daugybos savybės leidžia manyti, kad bet kokio teigiamų skaičių padauginimo rezultatas taip pat bus teigiamas skaičius. O skaičiaus a, kurio natūralusis rodiklis n, laipsnis pagal apibrėžimą yra n faktorių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus a. Šie argumentai leidžia teigti, kad bet kurios teigiamos bazės a laipsnis a n yra teigiamas skaičius. Dėl įrodytos savybės 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ir .

Visiškai akivaizdu, kad bet kurio natūraliojo skaičiaus n, kurio a=0, a n laipsnis yra lygus nuliui. Iš tiesų, 0 n =0·0·…·0=0 . Pavyzdžiui, 0 3 =0 ir 0 762 =0.

Pereikime prie neigiamų laipsnio bazių.

Pradėkime nuo atvejo, kai rodiklis yra lyginis skaičius, pažymėkime jį kaip 2·m, kur m yra natūralusis skaičius. Tada . Pagal neigiamų skaičių dauginimo taisyklę, kiekvienas iš a·a formos sandaugų yra lygus skaičių a ir a absoliučių verčių sandaugai, o tai reiškia, kad tai yra teigiamas skaičius. Todėl produktas taip pat bus teigiamas ir laipsnis a 2·m. Pateiksime pavyzdžius: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ir .

Galiausiai, kai bazė a yra neigiamas skaičius, o eksponentas yra nelyginis skaičius 2 m−1, tada . Visi sandaugai a·a yra teigiami skaičiai, šių teigiamų skaičių sandauga taip pat yra teigiama, o padauginus iš likusio neigiamo skaičiaus a gaunamas neigiamas skaičius. Dėl šios savybės (−5) 3 17 n n yra n tikrųjų nelygybių a kairiosios ir dešinės pusių sandauga nelygybių savybes, įrodoma a n n formos nelygybė taip pat yra teisinga. Pavyzdžiui, dėl šios savybės nelygybės 3 7 7 ir .

Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų galių savybių natūraliaisiais rodikliais. Suformuluokime. Iš dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir identiškos teigiamos bazės yra mažesnės už vieną, ta, kurios rodiklis mažesnis, yra didesnis; o dviejų laipsnių, kurių natūralūs rodikliai ir identiškos bazės yra didesnės už vieną, tas, kurio rodiklis yra didesnis, yra didesnis. Pereikime prie šios nuosavybės įrodymo.

Įrodykime, kad esant m>n ir 0m n . Norėdami tai padaryti, užrašome skirtumą a m − a n ir palyginame su nuliu. Užregistruotas skirtumas, išėmus n iš skliaustų, bus a n ·(a m−n−1) . Gauta sandauga yra neigiama kaip teigiamo skaičiaus a n ir neigiamo skaičiaus a m−n −1 sandauga (a n yra teigiama kaip teigiamo skaičiaus natūralioji galia, o skirtumas a m−n −1 yra neigiamas, nes m−n >0 dėl pradinės sąlygos m>n, iš kur išplaukia, kad kai 0m−n yra mažesnis už vienetą). Todėl a m −a n m n , ką ir reikėjo įrodyti. Kaip pavyzdį pateikiame teisingą nelygybę.

Belieka įrodyti antrąją turto dalį. Įrodykime, kad m>n ir a>1 a m >a n yra tiesa. Skirtumas a m −a n po n išėmimo iš skliaustų įgauna formą a n ·(a m−n −1) . Šis sandauga yra teigiama, nes esant a>1 laipsnis a n yra teigiamas skaičius, o skirtumas a m-n -1 yra teigiamas skaičius, nes m-n>0 dėl pradinės sąlygos, o kai a>1 laipsnis a m-n yra didesnis už vieną . Vadinasi, a m −a n >0 ir a m >a n , ką ir reikėjo įrodyti. Šią savybę iliustruoja nelygybė 3 7 >3 2.

Laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės

Kadangi teigiami sveikieji skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai visos laipsnių su teigiamais sveikaisiais rodikliais savybės tiksliai sutampa su laipsnių savybėmis su natūraliaisiais rodikliais, išvardytomis ir įrodytomis ankstesnėje pastraipoje.

Mes apibrėžėme laipsnį su sveikuoju neigiamu rodikliu, taip pat laipsnį su nuliniu rodikliu taip, kad visos laipsnių savybės su natūraliaisiais rodikliais, išreikštos lygybėmis, išliktų galioti. Todėl visos šios savybės galioja ir nuliniams, ir neigiamiems rodikliams, tuo tarpu, žinoma, laipsnių bazės skiriasi nuo nulio.

Taigi bet kokiems realiems ir nuliniams skaičiams a ir b, taip pat bet kokiems sveikiesiems skaičiams m ir n yra teisinga: laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybės:

a m ·a n =a m+n ;
a m:a n =a m−n ;
(a · b) n =a n · b n ;
(a:b) n =a n:b n ;
(a m) n =a m·n ;
jei n yra teigiamas sveikasis skaičius, a ir b yra teigiami skaičiai, o a n n ir a −n >b −n ;
jei m ir n yra sveikieji skaičiai, o m>n, tai 0m n ir a>1 galioja nelygybė a m >a n.

Kai a=0, laipsniai a m ir a n turi prasmę tik tada, kai ir m, ir n yra teigiami sveikieji skaičiai, tai yra natūralūs skaičiai. Taigi ką tik užrašytos savybės galioja ir tais atvejais, kai a=0, o skaičiai m ir n yra teigiami sveikieji skaičiai.

Įrodyti kiekvieną iš šių savybių nėra sunku, pakanka naudoti laipsnių apibrėžimus su natūraliaisiais ir sveikaisiais rodikliais, taip pat operacijų su realiaisiais skaičiais savybes. Kaip pavyzdį įrodykime, kad galia galios savybė galioja ir teigiamiems, ir neteigiamiems sveikiesiems skaičiams. Norėdami tai padaryti, turite parodyti, kad jei p yra nulis arba natūralusis skaičius, o q yra nulis arba natūralusis skaičius, tada lygybės (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ir (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Padarykime tai.

Teigiamų p ir q lygybė (a p) q =a p·q buvo įrodyta ankstesnėje pastraipoje. Jei p=0, tai turime (a 0) q =1 q =1 ir a 0·q =a 0 =1, iš kur (a 0) q =a 0·q. Panašiai, jei q=0, tai (a p) 0 =1 ir a p·0 =a 0 =1, iš kur (a p) 0 =a p·0. Jei ir p=0, ir q=0, tai (a 0) 0 =1 0 =1 ir a 0·0 =a 0 =1, iš kur (a 0) 0 =a 0,0.

Dabar įrodome, kad (a −p) q =a (−p)·q . Taigi pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu . Pagal mūsų turimų galių koeficientų savybę . Kadangi 1 p =1·1·…·1=1 ir , tada . Paskutinė išraiška pagal apibrėžimą yra a −(p·q) formos laipsnis, kuris dėl daugybos taisyklių gali būti parašytas kaip (−p)·q.

taip pat .

IR .

Taikant tą patį principą, visas kitas laipsnio savybes galite įrodyti sveikuoju rodikliu, parašytu lygybių forma.

Priešpaskutinėje iš įrašytų savybių verta pasilikti ties nelygybės a −n >b −n įrodymu, kuris galioja bet kuriam neigiamam sveikajam skaičiui −n ir bet kuriam teigiamam a ir b, kuriems tenkinama sąlyga a. . Užrašykime ir paverskime skirtumą tarp kairės ir dešinės šios nelygybės pusių: . Kadangi pagal sąlygą a n n , todėl b n −a n >0 . Produktas a n · b n taip pat yra teigiamas kaip teigiamų skaičių a n ir b n sandauga. Tada gauta trupmena yra teigiama kaip teigiamų skaičių b n −a n ir a n ·b n koeficientas. Todėl iš kur a −n >b −n , ką reikėjo įrodyti.

Paskutinė laipsnių su sveikaisiais rodikliais savybė įrodoma taip pat, kaip ir panaši laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybė.

Galių su racionaliais rodikliais savybės

Mes apibrėžėme laipsnį su trupmeniniu rodikliu, išplėsdami laipsnio savybes sveikuoju rodikliu. Kitaip tariant, laipsniai su trupmeniniais rodikliais turi tokias pačias savybes kaip ir laipsniai su sveikaisiais rodikliais. Būtent:

tų pačių bazių laipsnių sandaugos savybė jei a>0, o jei ir, tada a≥0;
koeficiento laipsnių su tais pačiais pagrindais savybė jei a>0;
produkto savybė trupmeninei galiai jei a>0 ir b>0, ir jei ir, tada a≥0 ir (arba) b≥0;
dalinio savybė trupmeniniam laipsniui jei a>0 ir b>0, o jei , tai a≥0 ir b>0;
laipsnio savybė jei a>0, o jei ir, tada a≥0;
ypatybė lyginti laipsnius su vienodais racionaliais rodikliais: bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b, a 0 nelygybė a p p yra teisinga, o p p >b p ;
ypatybė lyginti laipsnius su racionaliais rodikliais ir lygiomis bazėmis: racionaliesiems skaičiams p ir q p>q, kai 0p q, o a>0 – nelygybė a p >a q.

Laipsnių su trupmeniniais rodikliais savybių įrodymas grindžiamas laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimu, n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies savybėmis ir laipsnio su sveikuoju skaičiumi savybėmis. Pateikime įrodymus.

Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu ir , tada . Aritmetinės šaknies savybės leidžia parašyti tokias lygybes. Be to, naudojant laipsnio savybę su sveikuoju rodikliu, gauname , iš kurios pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu gauname , o gauto laipsnio rodiklis gali būti transformuojamas taip: . Tai užbaigia įrodymą.

Antroji laipsnių su trupmeniniais rodikliais savybė įrodoma visiškai panašiai:

Likusios lygybės įrodomos panašiais principais:

Pereikime prie kitos savybės įrodinėjimo. Įrodykime, kad bet kurio teigiamo a ir b atveju a 0 nelygybė a p p yra teisinga, o p p >b p . Parašykime racionalųjį skaičių p kaip m/n, kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius. Sąlygos p 0 šiuo atveju bus atitinkamai lygiavertės sąlygoms m 0. Jei m>0 ir esu m . Iš šios nelygybės pagal šaknų savybę gauname, o kadangi a ir b yra teigiami skaičiai, tai, remiantis laipsnio su trupmeniniu rodikliu apibrėžimu, gautą nelygybę galima perrašyti kaip, tai yra, a p p .

Panašiai ir m m >b m , iš kur, tai yra, a p >b p .

Belieka įrodyti paskutinę iš išvardytų savybių. Įrodykime, kad racionaliesiems skaičiams p ir q p>q, kai 0p q, o a>0 – nelygybė a p >a q. Racionalius skaičius p ir q visada galime sumažinti iki bendro vardiklio, net jei gausime paprastąsias trupmenas ir , kur m 1 ir m 2 yra sveikieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius. Šiuo atveju sąlyga p>q atitiks sąlygą m 1 >m 2, kuri išplaukia iš paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais palyginimo taisyklės. Tada, lyginant laipsnius su tomis pačiomis bazėmis ir natūraliaisiais rodikliais, 0m 1 m 2 ir a>1 nelygybė a m 1 >a m 2. Šios šaknų savybių nelygybės gali būti atitinkamai perrašytos kaip Ir . O laipsnio apibrėžimas su racionaliu rodikliu leidžia pereiti prie nelygybių ir atitinkamai. Iš čia darome galutinę išvadą: esant p>q ir 0p q , o esant a>0 – nelygybė a p >a q .

Galių su neracionaliais rodikliais savybės

Iš to, kaip apibrėžiamas laipsnis su neracionaliuoju rodikliu, galime daryti išvadą, kad jis turi visas laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes. Taigi bet kokiems a>0, b>0 ir neracionaliesiems skaičiams p ir q yra teisingi šie dalykai galių savybės su iracionaliais rodikliais:

a p ·a q =a p+q ;
a p:a q =a p−q ;
(a·b) p =a p ·b p ;
(a:b) p =a p:b p ;
(a p) q =a p·q;
bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b, a 0 nelygybė a p p yra teisinga, o p p >b p ;
iracionaliesiems skaičiams p ir q, p>q, kai 0p q, o a>0 – nelygybė a p >a q.

Iš to galime daryti išvadą, kad laipsniai su bet kuriais realiaisiais eksponentais p ir q, kai a>0 turi tas pačias savybes.

Algebra – 10 klasė. Trigonometrinės lygtys Pamoka ir pristatymas tema: „Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas“ Papildoma medžiaga Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo pastabų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visos medžiagos […]
Paskelbtas konkursas pareigoms „PARDAVĖJAS – KONSULTANTAS“ užimti: Pareigos: prekyba mobiliaisiais telefonais ir mobiliojo ryšio priedais, klientų aptarnavimas „Beeline“, „Tele2“, MTS abonentams, „Beeline“ ir „Tele2“ tarifų planų ir paslaugų prijungimas, MTS konsultavimas [… ]
Lygiagretainis formulė Lygiagretainis yra daugiakampis, turintis 6 paviršius, kurių kiekvienas yra lygiagretainis. Stačiakampis yra gretasienis, kurio kiekvienas paviršius yra stačiakampis. Bet kuris gretasienis pasižymi 3 […]
Priimti įstatymą dėl šeimos turto Priimti federalinį įstatymą dėl neatlygintino žemės sklypo suteikimo kiekvienam Rusijos Federacijos piliečiui arba piliečių šeimai, norint jame sukurti šeimos turtą, esant šioms sąlygoms: 1. Sklypas yra skirta […]
Vartotojų teisių gynimo draugija Astana Norėdami gauti PIN kodą, kad galėtumėte pasiekti šį dokumentą mūsų svetainėje, išsiųskite SMS žinutę su tekstu zan numeriu GSM operatorių (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) abonentai iki š. siunčiant SMS į numerį, […]
BRIANSK REGIONO GOSTEKHNADZORO PATIKRINIMAS Valstybės rinkliavos sumokėjimo kvitas (Atsisiųsti-12,2 kb) Prašymai įregistruoti fizinius asmenis (Atsisiųsti-12 kb) Prašymai įregistruoti juridinius asmenis (Atsisiųsti-11,4 kb) 1. Registruojant naują automobilį: 1.prašymas 2.pasas […]
N IR NN RAŠYMAS SKIRTINGOSE KALBOS DALYS S.G.ZELINSKAJA DIDAKTINĖ MEDŽIAGA Teorinis pratimas 1. Kada nn rašoma būdvardžiais? 2. Įvardykite šių taisyklių išimtis. 3. Kaip atskirti žodinį būdvardį su priesaga -n- nuo dalyvio su […]
Pivojevas V.M. Mokslo filosofija ir metodika: vadovėlis magistrantams ir magistrantams Petrozavodskas: PetrSU leidykla, 2013. - 320 p. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb Vadovėlis skirtas vyresniųjų klasių studentams, magistrantams ir magistrantams socialinių ir […]

Paskutinėje vaizdo pamokoje sužinojome, kad tam tikros bazės laipsnis yra išraiška, vaizduojanti pačios bazės sandaugą, paimtą lygiu eksponentu. Dabar panagrinėkime kai kurias svarbiausias galių savybes ir operacijas.

Pavyzdžiui, padauginkime dvi skirtingas galias su ta pačia baze:

Pateikiame visą šį darbą:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Apskaičiavę šios išraiškos reikšmę, gauname skaičių 32. Kita vertus, kaip matyti iš to paties pavyzdžio, 32 galima pavaizduoti kaip tos pačios bazės (dviejų) sandaugą, paimtą 5 kartus. Ir iš tikrųjų, jei suskaičiuosite, tada:

Taigi galime drąsiai daryti išvadą, kad:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Ši taisyklė sėkmingai veikia dėl bet kokių rodiklių ir bet kokių priežasčių. Ši galios daugybos savybė išplaukia iš taisyklės, kad posakių reikšmė išsaugoma darinyje transformuojant. Bet kuriai bazei a dviejų reiškinių (a)x ir (a)y sandauga yra lygi a(x + y). Kitaip tariant, kai sukuriamos bet kokios tos pačios bazės išraiškos, gautas monomialas turi bendrą laipsnį, sudarytą sudedant pirmosios ir antrosios išraiškos laipsnius.

Pateikta taisyklė puikiai veikia ir dauginant kelias išraiškas. Pagrindinė sąlyga – visi turi vienodus pagrindus. Pavyzdžiui:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Neįmanoma pridėti laipsnių ir iš tikrųjų atlikti bet kokius galia pagrįstus bendrus veiksmus su dviem išraiškos elementais, jei jų pagrindas yra skirtingas.
Kaip rodo mūsų vaizdo įrašas, dėl daugybos ir dalybos procesų panašumo, galių pridėjimo gaminyje taisyklės puikiai perkeliamos į padalijimo procedūrą. Apsvarstykite šį pavyzdį:

Paverskime terminą po termino į pilną formą ir sumažinkime tuos pačius elementus dividende ir daliklyje:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Šio pavyzdžio galutinis rezultatas nėra toks įdomus, nes jau sprendžiant jį aišku, kad išraiškos reikšmė lygi dviejų kvadratui. Ir tai yra du, kurie gaunami atėmus antrosios išraiškos laipsnį iš pirmosios.

Norint nustatyti koeficiento laipsnį, iš dividendo laipsnio reikia atimti daliklio laipsnį. Taisyklė veikia tuo pačiu pagrindu visoms savo vertybėms ir visoms gamtos jėgoms. Abstrakcijos forma turime:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Iš identiškų bazių padalijimo su laipsniais taisyklės seka nulinio laipsnio apibrėžimas. Akivaizdu, kad ši išraiška atrodo taip:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Kita vertus, jei skirstome vizualiau, gauname:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Sumažinant visus matomus trupmenos elementus, visada gaunama išraiška 1/1, tai yra vienas. Todėl visuotinai pripažįstama, kad bet kuri bazė, padidinta iki nulinės galios, yra lygi vienetui:

Nepriklausomai nuo a vertės.

Tačiau būtų absurdiška, jei 0 (kuris vis tiek duoda 0 bet kokiam dauginimui) kažkaip būtų lygus vienetui, todėl formos (0) 0 (nulis iki nulio laipsnio) išraiška tiesiog neturi prasmės, o formulei ( a) 0 = 1 pridėkite sąlygą: „jei a nelygu 0“.

Išspręskime pratimą. Raskime posakio reikšmę:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kadangi bazė visur yra vienoda ir lygi 34, galutinė vertė turės tą pačią bazę su laipsniu (pagal aukščiau pateiktas taisykles):

Kitaip tariant:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Atsakymas: išraiška lygi vienetui.

Jie turi tuos pačius laipsnius, tačiau laipsnių rodikliai nėra vienodi, 2² * 2³, tada rezultatas bus laipsnio bazė su ta pačia identiška laipsnių sandaugos narių baze, padidinta iki eksponento, lygaus į visų padaugintų laipsnių rodiklių sumą.

2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

Jei laipsnių sandaugos sąlygos turi skirtingas laipsnių bazes, o rodikliai yra vienodi, pavyzdžiui, 2³ * 5³, tada rezultatas bus šių laipsnių bazių sandauga, pakelta į eksponentą, lygų tam pačiam laipsniui. .

2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000

Jei dauginami laipsniai yra lygūs vienas kitam, pavyzdžiui, 5³ * 5³, tai rezultatas bus laipsnis, kurio bazė lygi šioms vienodoms laipsnių bazėms, pakelta iki laipsnio, lygaus laipsnių laipsniui, padauginta iš šių vienodų galių skaičius.

5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625

Arba kitas pavyzdys su tuo pačiu rezultatu:

5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625

Šaltiniai:

Kas yra laipsnis su natūraliuoju rodikliu?
galių produktas

Matematinius veiksmus su laipsniais galima atlikti tik tada, kai rodiklių bazės yra vienodos, o tarp jų yra daugybos ar padalijimo ženklai. Rodiklio bazė yra skaičius, pakeltas iki laipsnio.

Instrukcijos

Jei skaičiai dalijasi vienas iš kito (cm 1), tai y (šiame pavyzdyje tai skaičius 3) pasirodo kaip laipsnis, kuris susidaro atėmus laipsnius. Be to, šis veiksmas atliekamas tiesiogiai: antrasis atimamas iš pirmojo rodiklio. 1 pavyzdys. Įveskime: (a)b, kur skliausteliuose – a yra pagrindas, išoriniuose skliaustuose – rodiklis. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Jei atsakymas yra neigiamo laipsnio skaičius, toks skaičius paverčiamas paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra vienas , o vardiklyje bazė su rodikliu, gautu iš skirtumo, tik teigiama forma (su pliuso ženklu). 2 pavyzdys. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Valdžių padalijimas gali būti parašytas kitokia forma, naudojant trupmenos ženklą, o ne taip, kaip nurodyta šiame žingsnyje per „:“ ženklą. Tai nekeičia sprendimo principo, viskas daroma lygiai taip pat, tik įvedamas horizontalus (arba įstrižas) trupmenos ženklas, o ne dvitaškis. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Dauginant identiškas bazes, turinčias galias, galios pridedamos. 4 pavyzdys. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Jei rodikliai turi skirtingus ženklus, tai jų sudėjimas atliekamas pagal 5 pavyzdį. (2 )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.

Jei eksponentų bazės skiriasi, greičiausiai jie gali būti suvesti į tą pačią formą matematine transformacija. 6 pavyzdys. Tarkime, kad reikia rasti išraiškos reikšmę: (4)2: (2)3. Žinant, kad skaičius keturi gali būti pavaizduotas kaip dvi kvadratas, šis pavyzdys sprendžiamas taip: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Toliau, kai keliant skaičių į laipsnį. Jau turint laipsnį, laipsnių indeksai dauginami vienas iš kito: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .

Naudingas patarimas

Atminkite, jei nurodyta bazė skiriasi nuo antrosios bazės, ieškokite matematinio sprendimo. Skirtingi skaičiai pateikiami ne tik. Nebent rinkėjas vadovėlyje padarė klaidą.

Skaičiaus rašymo galios formatas yra sutrumpinta bazės dauginimo iš savęs operacijos rašymo forma. Naudodami šioje formoje pateiktą skaičių galite atlikti tokias pačias operacijas kaip ir su bet kuriais kitais skaičiais, įskaitant jų pakėlimą į laipsnį. Pavyzdžiui, galite padidinti skaičiaus kvadratą iki savavališko laipsnio ir gauti rezultatą esant dabartiniam technologijų išsivystymo lygiui nesukels jokių sunkumų.

Jums reikės

Prieiga prie interneto arba Windows skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Norėdami pakelti kvadratą iki laipsnio, naudokite bendrą kvadrato pakėlimo laipsniu, kuris jau turi laipsnio laipsnį, taisyklę. Atliekant šią operaciją, rodikliai padauginami, tačiau bazė išlieka ta pati. Jei bazė žymima x, o pradiniai ir papildomi rodikliai – a ir b, šią taisyklę bendra forma galima parašyti taip: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.

Padauginus (arba padalijus) dvi laipsnius, turinčius skirtingus pagrindus, bet tuos pačius rodiklius, tada jų bazes galima dauginti (arba padalyti), o rezultato eksponentą galima palikti tokį patį kaip faktorių (arba dividendų). ir daliklis).

Apskritai matematine kalba šios taisyklės parašytos taip:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Dalijant, b negali būti lygus 0, tai yra, antroji taisyklė turi būti papildyta sąlyga b ≠ 0.

Pavyzdžiai:
2 3 × 3 3 = (2 × 3) 3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Dabar, naudodamiesi šiais konkrečiais pavyzdžiais, įrodysime, kad laipsnių su tais pačiais rodikliais taisyklės-ypatybės yra teisingos. Išspręskime šiuos pavyzdžius taip, lyg nežinotume apie laipsnių savybes:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Kaip matome, atsakymai sutapo su gautais naudojant taisykles. Šių taisyklių žinojimas leidžia supaprastinti skaičiavimus.

Atkreipkite dėmesį, kad išraišką 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 galima parašyti taip:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Ši išraiška savo ruožtu yra kažkas kita, nei (2 × 3) 3. tai yra, 6 3.

Svarstomos laipsnių savybės su tais pačiais rodikliais gali būti naudojamos priešinga kryptimi. Pavyzdžiui, kas yra 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Sprendžiant pavyzdžius taip pat naudojamos galių savybės:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Laipsnių padalijimo taisyklė. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, bazė paliekama ta pati, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio. Pavyzdžiai:

11 skaidrė iš pristatymo „Galimų padalijimas ir dauginimas“ algebros pamokoms tema „Laipsnis“

Matmenys: 960 x 720 pikselių, formatas: jpg. Norėdami atsisiųsti nemokamą skaidrę, skirtą naudoti algebros pamokoje, dešiniuoju pelės mygtuku spustelėkite paveikslėlį ir spustelėkite „Išsaugoti vaizdą kaip“. “ Galite atsisiųsti visą pristatymą „Galimų padalijimas ir daugyba.ppt“ 1313 KB dydžio ZIP archyve.

„Galų padalijimas ir dauginimas“ - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Raskime a2 ir a3 sandaugą. 100. 2+3. 5 kartus. 64 = 144 = 1 0000 =. Valdžių dauginimas ir padalijimas. 3 kartus. a2 a3 =.

„Dviejų galios“ - 1024+. Konvertavimo iš vienos skaičių sistemos į kitą taisyklės. Guselnikova E.V. Mokykla Nr.130. Turinys. Dviejų galių lentelė. Paverskime skaičių 1998 iš dešimtainio į dvejetainį. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11F. Mokytojas: Baigta: Pažiūrėkime į konversijos schemą naudodami pavyzdį.

„Laipsnis su neigiamu eksponentu“ – laipsnis su neigiamu eksponentu. 5 12?3 (27?3). -2. -1. Apskaičiuokite: -3.

„Jėga su racionaliu eksponentu“ - tema: „Gala su racionaliu eksponentu“. Pamokos tikslai: I. Organizacinė dalis. Namų darbų tikrinimas 1. Matematinis diktantas 2. Testavimas tarp kolegų III Savarankiškas darbas. Bendra pamoka. Per užsiėmimus. Pasiruošimas testui V. Pamokos apibendrinimas VI. II.

„Galingumas su sveikuoju skaičiumi“ – pateikite išraišką kaip laipsnį. X-12. Išdėstykite mažėjančia tvarka. Išreikškite išraišką x-12 kaip dviejų laipsnių sandaugą su baze x, jei žinomas vienas veiksnys. Apskaičiuoti. Supaprastinti.

„Laipsnio savybės“ - Žinių ir įgūdžių apibendrinimas taikant laipsnio savybes su natūraliu rodikliu. Skaičiavimo pauzė. Laipsnio su natūraliuoju rodikliu savybės. Patikrinkite save! Žinių pritaikymas sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas. Testas. Fiziniai pratimai. Atkaklumo, protinės veiklos ir kūrybinės veiklos ugdymas.

Valdžių padalijimo taisyklė

1. Dviejų ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai (su tuo pačiu rodikliu):

(abc…) n = a n b n c n …

1 pavyzdys. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. 2 pavyzdys. (x 2 –a 2) 3 = [(x +a)(x – a)] 3 =( x +a) 3 (x - a) 3

Praktiškai atvirkštinė konversija yra svarbesnė:

a n b n c n … = (abc…) n

tie. kelių dydžių vienodų galių sandauga yra lygi šių dydžių sandaugos tokiai pačiai galiai.

3 pavyzdys. 4 pavyzdys. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2)] 2 =(a 3 +b 3) 2

2. Dalinio (trupmens) laipsnis yra lygus tos pačios daliklio laipsnio dalijimo iš tos pačios laipsniui:

5 pavyzdys. 6 pavyzdys.

Atvirkštinis konvertavimas:. 7 pavyzdys. . 8 pavyzdys. .

3. Dauginant laipsnius iš tų pačių bazių, pridedami laipsnių laipsniai:

9 pavyzdys.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. 10 pavyzdys. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5.

4. Dalijant laipsnius tais pačiais pagrindais, daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.

11 pavyzdys. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. 12 pavyzdys. (x-y) 3:(x-y) 2 =x-y.

5. Didinant laipsnį iki laipsnio, rodikliai dauginami:

13 pavyzdys. (2 3) 2 =2 6 =64. 14 pavyzdys.

Galių sudėjimas, atimtis, daugyba ir padalijimas